四則計算 

May 05 [Mon], 2008, 23:19
算術における加算 (+)・減算 (−)・乗算 (×)・除算 (÷) の 4 つの二項演算のことをあわせて、算術の四則(しそく)あるいは四則演算と称する。自然数の間に定義される四則演算のうち、減算と除算には大きな制約があり、これを解消する操作を通じて整数や有理数(とくに正の分数)にまで数の範囲を広げて四則演算を考えることができるようになる。

四則演算を特徴付ける性質には、交換法則・結合法則・分配法則などがあり、抽象代数学では四則演算が自由にできる集合のことを体という。有理数の全体、実数の全体、複素数の全体などは全て体である。

除算は乗算の逆の演算になっている;a × b = c ならば、a = c /b, b = c /a が成り立つ。a × b = 1 となるような b を a の逆数といい、1/a と表す。

減算についても、a + b = c ならば a = c - b, b = c - a であるから、× が + に、/ が - に置き代わっただけで上の式と全く同じことが起こっている。つまり、減算は加算の逆の演算である。ここから自然に、a + b = 0 となるような b を考えることに導かれる。この b は負の数であり、-a と表す。

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除数 

April 04 [Fri], 2008, 19:14
割り算で割るほうの数をいうが、日経平均指数を作成する際に、新株落ち、減資、銘柄の入れ替えが生じる場合に、指数に連続性を持たせるために除数の修正が行なわれる。 (債券参照)

追加リンク集 

March 13 [Thu], 2008, 18:26
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算術 

March 12 [Wed], 2008, 22:29
算術(さんじゅつ、arithmetic)は、数の概念や数の演算を扱い、その性質や計算規則、あるいは計算法などの論理的手続きをあきらかにしようとする学問分野である。非常に古くは数学全般を表した。

現代日本では、おもに数学教育の小学校における部分(教科名としては、1940年代以降では算数と称される)として学ばれるもののことを指す。その大部分は、四則演算(加減乗除、加法(足し算)・減法(引き算)・乗法(掛け算)・除法(割り算))の習熟に当てられる。

またこの言葉、とくに "Arithmetic" は、時によっては数論を指し示すこともある。

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素数 

March 10 [Mon], 2008, 9:27
素数(そすう、prime number)とは、1とその数自身以外に正の約数を持たない(つまり1とその数以外のどんな自然数によっても割り切れない)、1 より大きな自然数をいう。自然数や整数の積を考える上で基本的な構成要素であり、数論、暗号理論等において重要な役割を演ずる。

素数は無限に存在することが、紀元前3世紀頃のユークリッドの原論において既に証明されていた。100以下の素数を小さい順に列挙すると次の通り。

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97(オンライン整数列大辞典の数列 A40)

整数の中で、あるいは実数の中での素数の分布の様子は高度に非自明で、リーマン予想のような現代数学の重要な問題との興味深い結びつきが発見されている。

2006年9月、史上最大の素数探求のための分散コンピューティング・プロジェクトであるGIMPSによって、現時点で史上最大とされる素数が発見された。これは知られている中で44番目のメルセンヌ素数、232582657 - 1 であり、十進記数法で表記したときの桁数は980万8358桁に及ぶ。この史上最大の素数は[1]に掲載されており、印刷すると紙およそ1800枚分になる。

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教科としての数学 

March 08 [Sat], 2008, 2:11
教科における数学(すうがく、英: mathematics(math))は、中等教育の課程(中学校の課程、高等学校の課程、中等教育学校の課程など)におけるものの1つである。教科「数学」においては、学問などにおける数学の基礎が学ばれる。

教科「数学」は、初等教育(小学校など)の課程における算数を引き継ぎ、さらに高度な数理的な考え方を身に付けることを目的とした教科である。教科「数学」は、「英語」、「国語」と共に主要3教科と呼ばれ、大変重視されている。

ちなみに算数との違いは、計算式において文字および負の数を扱うか否かの違いである。


出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

植木算 

March 06 [Thu], 2008, 16:31
平面植木算とは広義の植木算の1つであり,いくつかのバリエーションがある。線を分けるものは点であり,面を分けるものが線であり,立体(空間)を分けるものが面である。そこに植木算の意味がある。普通,線を点で分けるものを植木算と呼称する。普通の植木算については,上に先人が自ら記述しているように,ほとんど自明のもので,単に注意力を促す問題に過ぎない。しかし,広義の植木算がいくつか考えられ,あながち自明とは言い切れない。こうした広義の植木算をあわせて考えることがなければ植木算の意味は希薄なものとなろう。 平面植木算といわれるものには,概ね,次の3パターンがある。

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

旅人算 

March 04 [Tue], 2008, 13:18
解法

* (道のり)=(速さ)×(時間)
* 公式から、「同じ距離を進む場合、時間の比は速さの逆比になる」という点に注目。
* 線分図を描くことで、より容易に理解できる。

[編集] (1)解答

次郎君が出発した時点ですでに太郎君は15分間歩いているので、その距離の差は

60 × 15 = 900(m)

である。次に、次郎君が太郎君を追いかける場合、1分間で150−60=90(m)だけ、その差を縮めることができる。これを考えると、出発時についていた900mの差を次郎君が縮めるには

900 ÷ 90 = 10(分)

かかる。次郎君の出発は8時15分だったので、10分を足して8時25分に太郎君に追いついたことになる。

[編集] (2)解答

学校までの時間は、太郎君のほうが次郎君より24分(最初の15分+最後の9分)長く歩いていることになる。

一方、速さの比は、

太郎 : 次郎 = 60 : 150 = 2 : 5

であるから、同じ距離(家から学校まで)を進むのにかかる時間の比は、

太郎 : 次郎 = 5 : 2

である。太郎君が家から学校までかかった時間を★★★★★、次郎君がかかった時間を★★とすると、その差★★★が24分となるので(このあたり線分図を描く)、

★ = 8分

となり、太郎がかかった時間は

5 × ★ = 40分

である。太郎の速さは毎分60mだから、家から学校までの距離は

60 × 40 = 2400(m)

したがって、答えは2.4kmとなる。


出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

対数 

March 03 [Mon], 2008, 1:37
対数の概念は、16世紀末にヨスト・ビュルギ(1588年)やジョン・ネイピア(1594年)によって考案され、便利な計算法として広まった。実際、多くの対数の近似値を表にした対数表を用いることにより、積の計算を、より簡単な和の計算に置き換えることができる。この方法では近似値の計算になるが、実用上はそれで十分である場合が多い。

2つの正の実数 x, y の積を求めたいとする。別の正の数 a ≠ 1 に対して、

x = ap
y = aq

とおくと、指数法則

ap aq = ap+q

が成り立つことより、以下の手順によって積 xy を求めることができる。

1. 対数表を用いて x を p に、y を q に変換する。
2. 和 p + q を計算する。
3. 逆対数表を用いて(あるいは対数表から逆に読み取って)p + q の結果を ap + q に変換する。
4. これが求める積 xy である。

特に x や y の桁数が大きい場合、計算機がなかった時代において非常に便利な計算方法であった。ネイピアは、20年かけて対数表を作成し1614年に発表した。

対数は煩雑な計算にかける労力を大幅に減らし、ケプラーによる天体の軌道計算をはじめとして、その後の科学の急激な発展を支えた。関数電卓やパソコンなどが広く使われる現代においても、厳密な値を必要としない有効数字による計算をする際には便利な方法である。

対数表の近似精度を高めることはネイピア以降もしばしば行われ、産業政策にも利用された。1790年にフランスで de Prony が失業中の理髪師たちを集めて雇用し計算させたのをはじめに、チャールズ・バベッジの階差機関への挑戦(1827年)や20世紀初頭アメリカ・ニューディール政策における公共事業促進局の実施する対数表プロジェクト (Mathematical Tables Project) において精度向上の試みが行われた。

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

数学における空間について 

February 28 [Thu], 2008, 15:01
空間の研究は幾何学とともにはじまる。はじめは、それは身近な三次元におけるユークリッド幾何学や三角法であるが、後にはやはり、一般相対性理論で中心的な役割を演ずる非ユークリッド幾何学に一般化される。長い間未解決だった定規とコンパスによる作図の問題は、最終的にガロア理論によって決着が付いた。現代的な分野である微分幾何学や代数幾何学は幾何学を異なる方向に発展させた:微分幾何学では、座標系やなめらかさ、それに向きの概念が強調されるが、一方で代数幾何学では、代数方程式の解となるような集合を幾何学的な対象とする。集合は数学の基礎を成す重要な概念であるが、幾何学的な側面を強調する場合、集合を空間と言い、その集合の元を点と呼ぶ。群論では対称性という概念を抽象的に研究し、空間と代数構造の研究の間に関連を与える。位相幾何学は連続という概念に着目することで、空間と変化の双方の研究に関係する。

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
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