線形代数

March 22 [Sat], 2014, 19:32

線形代数って結局何がしたいの?って質問をよく受ける。

これを一言で答えるのはなかなか難しい。
でも一言じゃなければうまく説明できるかもしれないと思ってこの日記を書くことにした。

線形代数は無理やりだけど二つに分けることができる。
というよりこの日記では二つに分けて説明しよう。

二つに分けた前半の部分は何をしているかというと連立方程式の解の公式を求めている。
ここでいう連立方程式っていうのは具体的に多元一次方程式のことだ。
一次式だけに限定すれば解に規則性を見出すことができて、公式を作れる。
ただ、そのまま式にすると非常にごちゃごちゃしてしまって扱いにくい(単純に式の数が多いからだ)。そこで行列っていう新しい数の概念を作った。
そう結局、行列ができた理由は元はといえば連立方程式の解の公式を美しく記述するためなんだ。
その行列を使って、というより行列に合わせて公式を作ることによって連立方程式の解はシンプルに記述できるようになり、自由に求められるようになった。
これで前半は終わり。目的がはっきりしててわかりやすいし、計算もそう難しくないからみんなここまではついてこれる。

問題は後半だ。後半は
せっかく新しく作った行列って概念をもっといろんな場面で使えないか?
いや、せっかく前半で行列に関するいろんな公式を作ったんだから連立方程式だけにとどめておくのはもったいない!!
ということでいきなり抽象的な話になる。みんなここでわからなくなる。
何をするのかというとまず行列って数字の性質を徹底的に調べ上げる。足したらどうとか、掛けたらどうとか、定義に戻って再確認してみる。そうして見つけ出した行列の性質を、今度は条件として扱うことで上手いことをする。

どういうことかというと、例えば実数のスカラーの足し算を二つ考える。
2+3=5
1+5=6
さらに実ベクトルの足し算を考える。
(2,1)+(3,5)=(5,6)
これは数の概念こそスカラーとベクトルで違うものの、計算内容はまるで同じだ。
これはスカラーとベクトルの足し算で共通した性質を持っているからだ。

つまり、一見行列とは縁のなさそうなものでも、行列と同じ性質を持っていることさえ確認できればそれを行列に表し直すことができるわけだ。
上の例では(特に意味はないけど)二つのスカラーの足し算を、一つのベクトルの足し算とみなすことができてるってわけ。場合によっては、そのまま解くのは難しそうな計算でも行列に直して行列専用の公式を使うことによって簡単に解けるようになる。
これで行列を連立方程式以外に適用させることに成功したわけだ。
ちなみ行列が持っている性質のことを「線形」って言って、繰り返すようだけどこの線形の性質を持っている奴らはみんな行列で表せる。さらにはこういった数の性質についてあれこれ議論してる数学の分野を「代数」っていう。

「線形代数」って名前の由来もわかったところで今日の日記は終わり。

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