算法少女の幾何学問題 別解
2007.04.07 [Sat] 10:00

三角関数を使わない解法です。

算法少女
算法少女
posted with amazlet on 07.04.07
遠藤 寛子
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前回のブログを読んでくれた 職業能力開発総合大学校 情報システム工学科 の 大野先生がメールで 同先生の回答 を教えてくれました。
ありゃ、この1ヶ月間に売り上げランキングが だいぶ 落ちましたね。

念のため、問題を再掲しますね。

図のように直角三角形に内接する円(白円)と、その外接円(大円)を考えます。外接円と直角三角形(斜辺は外接円の直径)の底辺に内接する円の最大のもの(黒円)が白円と同じ直径とするとき、外接円(大円)と、これらの円の直径比を求めなさい。ま、同書には、答えが書いてあり、13:4となっていますが、何故なのかは、書いてありません。



yaplogの編集可能時間は30分なんですが、それを超えそうなので、いったん、この状態で「保存」して、朝食の支度をします。(AM 06:10)

「セキュリティ上の理由」という説明ですが、ログインしてアイドルのまま放置して30分経過、なら退去されられても仕方ないけど、必死こいて打ち込んでいる最中に追い出されるなんてたまらないょね、阿呆な仕様だこと。

解答は、その後、編集して出しますね。前回の画と比べて3本の補助線が増えていますが、それがヒントです。


さぁて、朝食も済んだょん。

∠ADOは直角ですから △ADOと△ABCとは相似形で相似比は 1:2 です。したがって、DO = 1/2 * BC
  EO = R = ED + DO = 2r + 1/2 * BC    (1)

△ABCの面積を S とすると、S = 1/2 * BC * AB ですが、△AJCと△CJBとBJAとの面積の和でもあります。3つの三角形の面積はそれぞれ
  △AJC = 1/2 * r * AC = 1/2 * r * 2R
  △BJA = 1/2 * r * BA
  △CJB = 1/2 * r * CB

したがって、
  2S = BC * AB = r (2R + BA + CB)     (2)

△AJFと△AJHは合同なので、AF = AH。同様に CH = CG
  AB = AF + r
  BC = CG + r
なので、AC = 2R = (AB - r) + (BC - r)     (3)

以下、(1), (2), (3) から r と R との比を求めます。

(1)から、BC= 2R - 4r             (4)
これを(3)に代入すると、2R = (AB - 2r) + 2R - 4r となるので
  AB = 6r                  (5)

(4) と (5) とを (2)に代入すると
  6r * (2R - 4r) = r (2R + 6r + 2R - 4r)
整理すると  8R = 26 r   つまり  R : r = 13 : 4    (QED)

大野先生、有難うございました。    


ちなみに、∠BAC ( = θ ) は cosθ = 3 * 4/13 = 12/13 ですから 22.62 ° くらいになります。

結局、3回ログアウトして書き上げました。2時間近く、掛かったかな?
 
コメント
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2009.08.31 [Mon]
nemossan
宿題の解決に役に立てて、幸いです。 
3つのブログで紹介し、2つの解法について書きましたが、どちらも素晴らしいですね。

今の時代に我々は、数式を使って納得しましたが、これを議論した少年・少女は路上で口頭でやりあった みたいで、凄いなぁと思いました。

あと、「算法少女」という ブログも是非とも読んでください。

「宿題」というからには、高校生なんでしょうか? 今の高校生は、検索で宿題を解決するんですね。 

どんなキーワードで検索したら、このブログがヒットしたのか教えてもらえると嬉しいな。 
2009.08.31 [Mon]
突然失礼します
学校の宿題でこのもんだいを解く、というのがあり、わからなくて困っていました。
このブログのおかげで解くことができました!
ありがとうございます
2008.08.17 [Sun]
Carbonaro
nemossan様、コメントありがとうございました。

誤字脱字の上、わかりにくい文を書いてしまいご迷惑をおかけしましたが、2の方です。

内接円の軌跡が放物線になることは、私はど壷に嵌ってしまい計算できなかったのですが、30年前の雑誌に投稿されていることがわかり図書館に見に行ったのですが、余りの簡単さに愕然としました。

それをメル友に話したら、「それは高校の授業で常識だ」と言う返事だったので二度びっくり。

私は受験勉強をしっかりしなかった人間なので知人にコメントを求めると、東日本出身者は学校では習っていないということで、東西の受験勉強に対する力の入れ方の差ではないかと思った次第です。

nemossan様が授業ではやられていないということでしたので少し安心しました。

聞いていただけたら参考になります、宜しくお願い致します。

尚、放物線だとわからなくても真ん中で最大になることは図形的に説明できそうだということで仲間内では納得しています。
2008.08.17 [Sun]
nemossan
Carbonaroさん、フォロー有難うございます。

ご質問の趣旨がよく分からないのですが、
 1.EOがABの垂直二等分線であること
 2.弧AEBと弦ADBに内接する円の中心の
   軌跡は、EOを対称軸とし、点A・
   点I・点Bを通る放物線である
   (点Iとは、EDの中心位置)
のどちらが高校時代に習ったこと、というのでしょうか?

ちなみに、「1」は、D点で黒円とABとが接しているため、∠ADOは直角であり、また∠ABCが直角であります。これと、AOはACの半分であること、から簡単に証明できます。

私は、1958年に茨城県立高校を卒業しましたが、どちらも高校で教わった記憶はありません。

この問題に関連する「のぶ@みなみ」さんは、都立高校だったかな、大野先生は滋賀県立高校・「Another-Nobu」さんは、1985年に神奈川県立高校を卒業しています(この順に若くなります)。

「のぶ@みなみ」さん・大野先生・「Another-Nobu」さんが記憶にあるか否かは、まだ不明ですが、聞いてみましょうか?

2008.08.17 [Sun]
Carbonaro
話題の本質から外れた投稿で申し訳ないのですが、算法少女の問題に関連して仲間内で高校の授業で習ったかどうかで見解がわかれました、記憶をお伺いしたいのです。

問題ではEOがABの垂直二等分線となることがわからないと解けないが、このことは本問と解く上では自明のこととして扱われます。

円弧AEBと弦ABで囲まれた領域に内接する円の中心の軌跡はOを中心とする放物線となりますが西日本のメル友は高校の教科書か演習問題でやったというのですが、東日本の出身者は記憶にないというのです。

愚問で申し訳ありませんが、宜しくお願い致します。

2007.04.08 [Sun]
Another-Nobu
へぇ〜。。。

すばらしい。

2007.04.07 [Sat]
のぶ
うまい解法ですね。
(1) は気がつくかどうかがポイントでしょうか。