自然哲学の数学的原理2 ニュートン力学9

November 30 [Fri], 2012, 12:48
今回はケプラーの法則を紹介しましょう。
ケプラーの法則とは、その名が示す通り、ケプラーの発見した、太陽系の惑星の運動に関する現象的法則となっていハイスクールD×D エロ画像ます。
以下に述べてみましょう。
ケプラーの法則1第一法則。
各惑星は太陽を一つの焦唐ニする楕円軌道を描いて運行する。
2第二法則面積速度一定の法則。
惑星と太陽を結ぶ動径は単位時間内に同一の面積を掃く。
3第三法則。
惑星の公転周期の二乗と軌道を与える楕円の長径の三乗の比は惑星によらず一定である。
まず第一法則について。
楕円というのはいいでしょうか。
これはどのようにして定義されるのかというと、まず平面上の二擢とFをとります。
FとFまでの距離がある定数2aとなる淘S体の集合が楕円ですね。
添付画像11をご覧ください。
絵で見れば簡単です。
ここでFとFを楕円の焦唐ニ言います。
つまり第一法則とは、太陽が楕円の焦唐位置して、惑星はその太陽の周りを楕円運動すると言っているのです。
次に第二法則について。
惑星と太陽を結ぶ動径とは、楕円運動する惑星と、その惑星から楕円の焦唐位置する太陽を結ぶ線分のことです。
この線分は惑星の運動とともの変わりますが、この動径の掃く単位時間あたりの面積が常に一定であることを面積速度一定というのです。
次に第三法則について。
惑星の公転周期とは、惑星が太陽の周りを一周する時間Tのことを言います。
楕円の長径とは、第一法則の説明で出てきた、aのことですね。
第三法則を数式で書くと、12のようになります。
このケプラーの法則は、太陽系の惑星の運行に関する非常に精度のよい経験法則として確立されたのでした。
この法則をニュートンの運動方程式と、万有引力の法則を使って、証明したのがニュートンです。
万有引力の法則とは、質量をもつ全ての物体は、引力と呼ばれるものを持っており、その力の強さは、物体間の距離の二乗に反比例し、物体の質量の大きさに比例するというものです。
式で書けば13のようになります。
ここで定数Gを万有引力定数といいます。
ケプラーの法則を示すということは、万有引力の法則を用いて、微分方程式であるニュートンの運動方程式を解くことにあたります。
この結果出てくるのは、惑星の楕円運動だけではなくて、惑星のもつ力学的エネルギーによって、放物線運動をしたり、双曲線運動をしたりします。
これらの運動の場合は、無限遠方から惑星がやってきて、ある程度太陽に近づいたら、そのまま無限遠方まで遠ざかってしまうというものです。
ケプラーの法則を、ケプラーは膨大な観測データの中から見出しました。
10年以上かかったそうですね。
この法則は、その後の物理学の進む方向を決定づけたものでして、超人的な洞察力だと思います。
このケプラーの法則を数式を使って示したいのですが、日記上では困難かもしれません。
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